Wenn ich unterrichte, dann achte ich darauf, nicht zu viel Stoff in meine Stunden zu packen. Gleichwohl lohnt es sich, mehrere Beweise oder Veranschaulichungen eines Satzes zu behandeln:

  1. Sich mit verschiedenen Arten der Beweisführung auseinanderzusetzen fordert und fördert ein flexibles Denken, es erweitert den Horizont.

  2. Wenn ich als Lehrkraft mehrere Lösungen anbiete, so vergrößere ich Chance, jeden Lernenden auf einer dieser Frequenzen zu erreichen. So kommt es immer wieder vor, dass sich plötzlich jemand angesprochen fühlt, der sich bislang passiv verhielt: „Ah, damit kann ich etwas anfangen“.

  3. Verschiedene Standpunkte einzunehmen beinhaltet auch eine soziale Komponente. In einer zivilisierten Gesellschaft gehört es zum guten Ton, andere Ideen und Meinungen nicht nur passiv zu tolerieren, sondern sich aktiv damit auseinanderzusetzen.

Nun kommen wir zum Beweis des Satzes von Pythagoras, den Leonardo da Vinci vorgelegt hat. Niemand erwartet von Ihnen, dass Sie selbst darauf gekommen wären. Sie wären ja auch nicht darauf gekommen, die Mona Lisa zu malen, aber wir können sie im Musée du Louvre anschauen und uns bereits daran erfreuen. Manche Beweise müssen erarbeitet werden, man muss sie sich verdienen, ähnlich wie die Aussicht nach einem Aufstieg am Berg.

Ausgangskonfiguration des Beweises ist ein rechtwinkliges Dreieck \(ABC\) und die Quadrate über den Seiten. Da Vinci ergänzt dann einige Punkte und Strecken und erhält diese Beweisfigur:

Nun überlegen wir uns, dass folgende Aussagen richtig sind.

      (A1)  Die Dreiecke \(ABC\) und \(HC’I\) sind deckungs- und damit flächengleich.

      (A2)  Das Quadrat \(AHIB\) wird durch die Strecke \(CC‘\) in zwei Hälften geteilt.

      (A3)  Die Vierecke \(CAHC‘\) und \(CC’IB\) sind deckungs- und damit flächengleich.

Jetzt kommt der Clou. Wir drehen das Viereck \(GABD\), das aussieht wie eine „Karnevalsmütze", um \(90°\)im Uhrzeigersinn um den Punkt \(A\).

Stellen Sie sich diese Drehung bitte vor. Der Punkt \(G\) wird auf \(C\) gedreht, \(B\) auf \(H\) und so weiter. Das Viereck \(GABD\) passt aufgrund von (A1) bis (A3)  genau auf das Viereck \(AHC’C\).

Das obere Stück des Vierecks \(AHC’C\) können wir uns zu \(C‘\) und \(I\) verschoben denken. Folglich hat \(AHC’C\) den Flächeninhalt:

\(|AHC’C| = \dfrac{1}{2} c^{2} + \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\)

Das Viereck \(GABD\) hat den Flächeninhalt:

\(|GABD| = \dfrac{1}{2}  b^{2} + \dfrac{1}{2} a\cdot b + \dfrac{1}{2} a^{2}\)

Und wir können beide Flächen gleich setzen:

\(\dfrac{1}{2} b^{2} + \dfrac{1}{2} a\cdot b + \dfrac{1}{2} a^{2} = \dfrac{1}{2} c^{2} + \dfrac{1}{2} a\cdot b\)

Wir nehmen auf beiden Seiten \(1/2 a\cdot b\) weg:

\(\dfrac{1}{2} b^{2} + \dfrac{1}{2} a^{2} = \dfrac{1}{2} c^{2}\),

multiplizieren die Gleichung mit \(2\) und erhalten den Satz von Pythagoras:

\(a^{2}+b^{2} = c^{2}\)

Damit ist der Beweis erbracht.

Bonus: Umgang mit unseren Vorfahren

Es ist ehrenvoll, den Vorfahren zu gedenken, denn ihre Erkenntnisse und Erfindungen sind die Grundlagen unseres komfortablen Lebens, aber wir können uns Denkmälern schlecht auf der Gefühlsebene nähern. Vergessen wir also nicht, dass auch Universalgenies fehlbar waren. Dadurch werden sie als Menschen greifbar und es wird für uns einfacher, ihre Gedanken nachzuvollziehen und ihren Weg fortzusetzen.

Quelle: www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek1/geometrie/pyth/beweise/vinci.html
Software: Die Konstruktionsabbildungen wurden mit GeoGebra erstellt, www.geogebra.org.
Nachweis Einleitungsbild: www.pixabay.com